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k 短路

问题描述¶

给定一个有个结点，条边的有向图，求从到的所有不同路径中的第短路径的长度。

A*算法¶

A*算法定义了一个对当前状态的估价函数，其中为从初始状态到达当前状态的实际代价，为从当前状态到达目标状态的最佳路径的估计代价。每次取出最优的状态，扩展其所有子状态，可以用 优先队列 来维护这个值。

在求解短路问题时，令为从当前结点到达终点的最短路径长度。可以通过在反向图上对结点跑单源最短路预处理出对每个结点的这个值。

由于设计的距离函数和估价函数，对于每个状态需要记录两个值，为当前到达的结点和已经走过的距离，将这种状态记为。

开始我们将初始状态加入优先队列。每次我们取出估价函数最小的一个状态，枚举该状态到达的结点的所有出边，将对应的子状态加入优先队列。当我们访问到一个结点第次时，对应的状态的就是从到该结点的第短路。

优化：由于只需要求出从初始结点到目标结点的第短路，所以已经取出的状态到达一个结点的次数大于次时，可以不扩展其子状态。因为之前次已经形成了条合法路径，当前状态不会影响到最后的答案。

当图的形态是一个元环的时候，该算法最坏是的。但是这种算法可以在相同的复杂度内求出从起始点到每个结点的前短路。

参考实现¶

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 5010;
const int maxm = 400010;
const int inf = 2e9;
int n, m, s, t, k, u, v, ww, H[maxn], cnt[maxn];
int cur, h[maxn], nxt[maxm], p[maxm], w[maxm];
int cur1, h1[maxn], nxt1[maxm], p1[maxm], w1[maxm];
bool tf[maxn];
void add_edge(int x, int y, double z) {
  cur++;
  nxt[cur] = h[x];
  h[x] = cur;
  p[cur] = y;
  w[cur] = z;
}
void add_edge1(int x, int y, double z) {
  cur1++;
  nxt1[cur1] = h1[x];
  h1[x] = cur1;
  p1[cur1] = y;
  w1[cur1] = z;
}
struct node {
  int x, v;
  bool operator<(node a) const { return v + H[x] > a.v + H[a.x]; }
};
priority_queue<node> q;
struct node2 {
  int x, v;
  bool operator<(node2 a) const { return v > a.v; }
} x;
priority_queue<node2> Q;
int main() {
  scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t, &k);
  while (m--) {
    scanf("%d%d%d", &u, &v, &ww);
    add_edge(u, v, ww);
    add_edge1(v, u, ww);
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) H[i] = inf;
  Q.push({t, 0});
  while (!Q.empty()) {
    x = Q.top();
    Q.pop();
    if (tf[x.x]) continue;
    tf[x.x] = true;
    H[x.x] = x.v;
    for (int j = h1[x.x]; j; j = nxt1[j]) Q.push({p1[j], x.v + w1[j]});
  }
  q.push({s, 0});
  while (!q.empty()) {
    node x = q.top();
    q.pop();
    cnt[x.x]++;
    if (x.x == t && cnt[x.x] == k) {
      printf("%d\n", x.v);
      return 0;
    }
    if (cnt[x.x] > k) continue;
    for (int j = h[x.x]; j; j = nxt[j]) q.push({p[j], x.v + w[j]});
  }
  printf("-1\n");
  return 0;
}

可持久化可并堆优化 k 短路算法¶

最短路树与任意路径的关系与性质¶

在反向图上从开始跑最短路，设在原图上结点到的最短路长度为，建出任意一棵以为根的最短路树。

所谓最短路径树，就是满足从树上的每个结点到根节点的简单路径都是到的其中一条最短路径。

设一条从到的路径经过的边集为，去掉中与的交集得到。

有如下性质：

对于一条不在上的边，其为从到的一条边，边权为，定义其代价，即为选择该边后路径长度的增加量。则路径的长度。
将和中的所有边按照从到所经过的顺序依次排列，则对于中相邻的两条边，有与相等或为其在上的祖先。因为在中直接相连或中间都为树边。
对于一个确定存在的，有且仅有一个，使得。因为由于性质，中相邻的两条边的起点和终点之间在上只有一条路径。

问题转化¶

性质告诉我们知道集合后，如何求出的值。

性质告诉我们所有一定满足的条件，所有满足这个条件的边集都是合法的，也就告诉我们生成的方法。

性质告诉我们对于每个合法的有且仅有一个边集与之对应。

那么问题转化为：求的值第小的满足性质的集合。

算法描述¶

由于性质，我们可以记录按照从到的顺序排列的最后一条边和的值，来表示一个边集。

我们用一个小根堆来维护这样的边集。

初始我们将起点为或在上的祖先的所有的边中最小的一条边加入小根堆。

每次取出堆顶的一个边集，有两种方法可以生成可能的新边集：

替换中的最后一条边为满足相同条件的更大的边。
在最后一条边后接上一条边，设为中最后一条边的终点，由性质可得这条边需要满足其起点为或在上的祖先。

将生成的新边集也加入小根堆。重复以上操作次后求出的就是从到的第短路。

对于每个结点，我们将以其为起点的边的建成一个小根堆。为了方便查找一个结点与在上的祖先在小根堆上的信息，我们将这些信息合并在一个编号为的小根堆上。回顾以上生成新边集的方法，我们发现只要我们把紧接着可能的下一个边集加入小根堆，并保证这种生成方法可以覆盖所有可能的边集即可。记录最后选择的一条边在堆上对应的结点，有更优的方法生成新的边集：

替换中的最后一条边为在堆上的左右儿子对应的边。
在最后一条边后接上一条新的边，设为中最后一条边的终点，则接上编号为的小根堆的堆顶结点对应的边。

用这种方法，每次生成新的边集只会扩展出最多三个结点，小根堆中的结点总数是。

所以此算法的瓶颈在合并一个结点与其在上的祖先的信息，如果使用朴素的二叉堆，时间复杂度为，空间复杂度为；如果使用可并堆，每次仍然需要复制堆中的全部结点，时间复杂度同样无法承受。

可持久化可并堆优化¶

在阅读本内容前，请先了解可持久化可并堆的相关知识。

使用可持久化可并堆优化合并一个结点与其在上的祖先的信息，每次将一个结点与其在上的父亲合并，时间复杂度为，空间复杂度为。这样在求出一个结点对应的堆时，无需复制结点且之后其父亲结点对应的堆仍然可以正常访问。

参考实现¶

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 200010;
int n, m, s, t, k, x, y, ww, cnt, fa[maxn];
struct Edge {
  int cur, h[maxn], nxt[maxn], p[maxn], w[maxn];
  void add_edge(int x, int y, int z) {
    cur++;
    nxt[cur] = h[x];
    h[x] = cur;
    p[cur] = y;
    w[cur] = z;
  }
} e1, e2;
int dist[maxn];
bool tf[maxn], vis[maxn], ontree[maxn];
struct node {
  int x, v;
  node* operator=(node a) {
    x = a.x;
    v = a.v;
    return this;
  }
  bool operator<(node a) const { return v > a.v; }
} a;
priority_queue<node> Q;
void dfs(int x) {
  vis[x] = true;
  for (int j = e2.h[x]; j; j = e2.nxt[j])
    if (!vis[e2.p[j]])
      if (dist[e2.p[j]] == dist[x] + e2.w[j])
        fa[e2.p[j]] = x, ontree[j] = true, dfs(e2.p[j]);
}
struct LeftistTree {
  int cnt, rt[maxn], lc[maxn * 20], rc[maxn * 20], dist[maxn * 20];
  node v[maxn * 20];
  LeftistTree() { dist[0] = -1; }
  int newnode(node w) {
    cnt++;
    v[cnt] = w;
    return cnt;
  }
  int merge(int x, int y) {
    if (!x || !y) return x + y;
    if (v[x] < v[y]) swap(x, y);
    int p = ++cnt;
    lc[p] = lc[x];
    v[p] = v[x];
    rc[p] = merge(rc[x], y);
    if (dist[lc[p]] < dist[rc[p]]) swap(lc[p], rc[p]);
    dist[p] = dist[rc[p]] + 1;
    return p;
  }
} st;
void dfs2(int x) {
  vis[x] = true;
  if (fa[x]) st.rt[x] = st.merge(st.rt[x], st.rt[fa[x]]);
  for (int j = e2.h[x]; j; j = e2.nxt[j])
    if (fa[e2.p[j]] == x && !vis[e2.p[j]]) dfs2(e2.p[j]);
}
int main() {
  scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t, &k);
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &ww), e1.add_edge(x, y, ww), e2.add_edge(y, x, ww);
  Q.push({t, 0});
  while (!Q.empty()) {
    a = Q.top();
    Q.pop();
    if (tf[a.x]) continue;
    tf[a.x] = true;
    dist[a.x] = a.v;
    for (int j = e2.h[a.x]; j; j = e2.nxt[j]) Q.push({e2.p[j], a.v + e2.w[j]});
  }
  if (k == 1) {
    if (tf[s])
      printf("%d\n", dist[s]);
    else
      printf("-1\n");
    return 0;
  }
  dfs(t);
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (tf[i])
      for (int j = e1.h[i]; j; j = e1.nxt[j])
        if (!ontree[j])
          if (tf[e1.p[j]])
            st.rt[i] = st.merge(
                st.rt[i],
                st.newnode({e1.p[j], dist[e1.p[j]] + e1.w[j] - dist[i]}));
  for (int i = 1; i <= n; i++) vis[i] = false;
  dfs2(t);
  if (st.rt[s]) Q.push({st.rt[s], dist[s] + st.v[st.rt[s]].v});
  while (!Q.empty()) {
    a = Q.top();
    Q.pop();
    cnt++;
    if (cnt == k - 1) {
      printf("%d\n", a.v);
      return 0;
    }
    if (st.lc[a.x])
      Q.push({st.lc[a.x], a.v - st.v[a.x].v + st.v[st.lc[a.x]].v});
    if (st.rc[a.x])
      Q.push({st.rc[a.x], a.v - st.v[a.x].v + st.v[st.rc[a.x]].v});
    x = st.rt[st.v[a.x].x];
    if (x) Q.push({x, a.v + st.v[x].v});
  }
  printf("-1\n");
  return 0;
}

习题¶

「SDOI2010」魔法猪学院

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最短路树与任意路径的关系与性质¶

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可持久化可并堆优化¶

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